Eksponen dan Logaritma

     A.   Eksponen

 Bentuk aⁿ disebut sebagai bentuk eksponensial atau perpangkatan, dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat.

Rumus-rumus Eksponen :

 

Persamaan Eksponen : 

Bentuk :

1.      Jika α^f(x) = 1, maka f(x) = 0

2.      Jika α^f(x) = α^p, maka f(x) = p

3.      Jika α^f(x) = α^g(x), maka f(x) = g(x)

4.       A(α^f(x))² + B(α^f(x)) + C = 0

5.      Jika f(x)^g(x) = f(x)^h(x)

Beberapa kemungkinan :

a.      g(x) = h(x)

b.      f(x) = 1

c.       f(x) = -1, syarat g(x) dan h(x) keduanya bilangan genap atau ganjil

d.      f(x) = 0, syarat g(x) dan h(x) keduanya bilangan positif

6.      Jika f(x)^g(x) = h(x)^g(x)

Beberapa kemungkinan :

a.      f(x) = h(x)

b.      g(x) = 0, syarat f(x) dan h(x) ≠ 0

7.      Jika f(x)^g(x) = 1

Beberapa kemungkinan :

1.      f(x) = 1

2.      f(x) = -1, syarat g(x) bilangan genap

3.      g(x) = 0, syarat f(x) ≠ 0

Pertidaksamaan Eksponen :

1.      Jika α^f(x) > α^g(x) dengan α > 1, maka f(x) > g(x)

2.      Jika α^f(x) > α^g(x) dengan 0 < α < 1, maka f(x) < g(x)

      B.     Logaritma

       Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau perpangkatan.

Rumus dasar logaritma:

a^x= b ditulis sebagai ^alog b = x  atau log_a b = x (a disebut basis)

Rumus-rumus Logaritma :

Persamaan Logaritma :

1.      Jika ^alog f(x) = ^alog p, f(x) > 0

maka f(x) = p

2.      Jika ^alog f(x) = ^alog g(x), f(x) > 0

maka f(x) = g(x)

 Pertidaksamaan Logaritma :

1.      Jika ^alog f(x) > ^alog g(x), dengan a > 1, maka f(x) > g(x)

2.      Jika ^alog f(x) > ^alog g(x), dengan 0 < a < 1, maka f(x) < g(x)

Definisi, Unsur, dan Sifat-Sifat Lingkaran

A.    PENGERTIAN LINGKARAN

Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, dimana titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap titik pusat.

B. UNSUR-UNSUR LINGKARAN

Unsur-unsur lingkaran adalah sebagai berikut:

1.      Titik pusat
merupakan titik tengah lingkaran, di mana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap. Titik O merupakan titik pusat lingkaran.

2.      Jari-jari
merupakan jarak dari titik pusat ke busur lingkaran. Jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, OC.

3.      Tali busur
merupakan ruas garis dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. Garis AC merupakan tali busur.

4.      Busur
merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. Garis lengkung AC merupakan busur lingkaran.

5.      Diameter
merupakan tali busur terbesar yang melalui titik pusat, dan panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Garis BC merupakan diameter lingkaran. Garis ini membagi lingkaran sama luas.

6.      Apotema
merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran. Garis tersebut tegak lurus dengan tali busur. Garis OD merupakan apotema.

7.      Juring
merupakan luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut. Daerah AOB merupakan juring lingkaran.

8.      Tembereng
merupakan daerah lingkaran yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur. Daerah yang berwarna kuning tersebut merupakan tembereng.

C.    Sifat-sifat Lingkaran

Sifat-sifat lingkaran adalah sebagai berikut:

1.      Mempunyai sebuah titik pusat.      

2.      Hanya terdiri dari satu sisi.

3.      Tidak mempunyai titik sudut dan jumlah sudutnya adalah 360 derajat

4.      Mempunyai jari-jari (r) dan diameter (d)

5.      Mempunyai simetri lipat yang tidak terhingga

6.      Mempunyai simetri putar yang tidak terhingga 

Nilai Phi(π)

Nilai phi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling (K) lingkaran dengan diameternya (d). Nilai phi telah ditemukan oleh para ilmuwan terdahulu. Masing – masing ilmuwan menemukan bahwa nilai phi mendekati 3,14. Berikut persamaan nilai phi (π) :

π = (keliling lingkaran) : (diameter lingkaran)

Keliling Lingkaran

Dari persamaan diatas, dapat kita ketahui juga bahwa rumus keliling lingkaran sama dengan phi dikalikan dengan diameter lingkaran.

K = πd atau K = 2πr

Luas Lingkaran

Penjumlahan elemen juring untuk pembuktian rumus luas lingkaran.

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan  jari-jari lingkaran.

Dapat dilihat bahwa dari juring-juring yang disusun tersebut membentuk sebuah persegi panjang, maka luas lingkaran dapat kita hitung menggunakan rumus luas persegi panjang. Dengan panjang = πr, lebar = r

Luas lingkaran = luas persegi panjang

 = panjang x lebar

                         = πr x r

                         = πr²

Selain dapat disusun menjadi sebuah persegi panjang, kita juga dapat menyusun juring-juring tersebut menjadi sebuah jajar genjang. Sehingga luas lingkaran juga dapat kita hitung menggunakan rumus luas jajar genjang. Dengan alas = πr,   tinggi = r

Luas lingkaran = luas jajar genjang

 = alas x tinggi

                         = πr x r

                         = πr²